intervalos de confianza para la diferencia de medias

Supondremos la existencia de dos poblaciones sobre las que una variable determinada sigue una distribución Normal con idéntica varianza en las dos. Sobre la población 1, la variable sigue una distribución N(µ₁, σ) y, sobre la población 2, sigue una distribución N(µ₂, σ). Igualmente supondremos que disponemos de dos muestras aleatorias independientes, una para cada población, de tamaños muestrales n₁ y n₂ respectivamente.

El objetivo es construir un intervalo de confianza, con nivel de confianza (1 − α) · 100 %, para la diferencia de medias

µ₁ − µ₂

El método se basa en la construcción de una nueva variable D, definida como la diferencia de las medias muestrales para cada población

Esta variable, bajo la hipótesis de independencia de las muestras, sigue una distribución Normal de esperanza

µ₁ − µ₂

y de varianza

La estimación conjunta, a partir de las dos muestras, de la varianza común viene dada por la expresión

y, utilizando la propiedad de que la variable

sigue una distribución χ² con n₁ + n₂ − 2 grados de libertad, podemos construir un estadístico pivote que siga una distribución t de Student y que nos proporciona la fórmula siguiente para el intervalo de confianza para la diferencia de medias:

donde t_α/2 es el valor de una distribución t de Student con n₁ + n₂ − 2 grados de libertad que deja a su derecha una probabilidad de α/2.